Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y^{2} + 1)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (6 x (y^{2} + 1))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Paso 1.2.2

Combina $6$ y $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{2} + 1$ de $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 6 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 6 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\arctan (y) + C_{1} = 6 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = 3 x^{2} + K$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (3 x^{2} + K)$