Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y (1 - e^{2 x})$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - e^{2 x}))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - e^{2 x}))$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - e^{2 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (1 - e^{2 x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - e^{2 x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - e^{2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - e^{2 x} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - e^{2 x} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int e^{2 x} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} e^{u} + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{4}$

Paso 2.3.10

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + x + C}$

Paso 3.3.2

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x + C}$ como $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{e^{2 x}}{2} + x}$