Cálculo Ejemplos

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

Paso 1

Resta $(y + 2) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ al numerador.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y + 2$ de $(x - 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.2.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 4.3.2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

Paso 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

Paso 5.4

Expande $(y + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Paso 5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Paso 5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

Paso 5.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

Paso 5.7

Reescribe $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

Paso 5.8

Resuelve $y$

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Paso 5.8.1

Reescribe la ecuación como $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ .

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

Paso 5.8.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

Paso 5.8.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.8.3.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

Paso 5.8.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Paso 5.8.4

Factoriza $y$ de $y x - 2 y$ .

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Paso 5.8.4.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Paso 5.8.4.2

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Paso 5.8.4.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Paso 5.8.5

Divide cada término en $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ por $x - 2$ y simplifica.

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Paso 5.8.5.1

Divide cada término en $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Paso 5.8.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.5.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.8.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Paso 5.8.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Paso 5.8.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Paso 5.8.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Paso 5.8.5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$