Cálculo Ejemplos

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 1

Resta $x^{3} d x$ de ambos lados de la ecuación.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $3$ de $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $3$ de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $3$ de $3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $3$ de $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Paso 3.4.4

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Paso 3.4.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.5.1

Combina $K$ y $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Paso 3.4.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Paso 3.4.6

Mueve $4$ a la izquierda de $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Paso 3.4.7

Combina $3$ y $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Paso 3.4.8

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 3.4.9

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.10.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.10.4

Suma $1$ y $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 3.4.10.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 3.4.10.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.10.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.10.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.10.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.10.5.4.1

Cancela el factor común.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.10.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 3.4.10.5.5

Evalúa el exponente.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.11.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 3.4.11.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 3.4.11.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.11.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 3.4.11.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.11.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 3.4.11.5

Combina exponentes.

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Paso 3.4.11.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.11.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Paso 3.4.12

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.4.12.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Paso 3.4.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.12.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.12.2.2

Cancela el factor común.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.12.2.3

Reescribe la expresión.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Paso 3.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Paso 3.6

Simplifica $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

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Paso 3.6.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.6.2

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.6.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$