Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2} - 3 y - x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 3 y - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $2 y - 3$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y - 3$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 3]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Paso 2.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y - 3 = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y - 3 = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 y - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 y - 3$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 y - 3$ por $N$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{2 y - 3}$

Paso 4.3.2

Suma $2 y - 3$ y $0$ .

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2 y - 3$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int d x}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$ por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{2} - 3 y - x$ por $e^{x}$ .

$(y^{2} - 3 y - x) e^{x} d x + (2 y - 3) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $2 y - 3$ por $e^{x}$ .

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) e^{x} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y e^{x} - 3 e^{x}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} - 3 e^{x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 y e^{x} - 3 e^{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y + \int - 3 e^{x} d y$

Paso 8.2

Dado que $2 e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 e^{x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y + \int - 3 e^{x} d y$

Paso 8.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 e^{x} d y$

Paso 8.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Paso 8.6

Simplifica.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{x} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y]$ .

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Paso 11.4.1

Como $- 3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 e^{x} y$ con respecto a $x$ es $- 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 11.6.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $y^{2} e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.2

Suma $3 y e^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$ .

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Paso 12.1.3.1

Resta $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 0 + 3 y e^{x}$

Paso 12.1.3.2

Suma $- 3 y e^{x} - x e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 3 y e^{x}$

Paso 12.1.3.3

Suma $- 3 y e^{x}$ y $3 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x} + 0$

Paso 12.1.3.4

Suma $- x e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- x e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{x} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{x} d x$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x e^{x} d x$

Paso 13.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 13.5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Paso 13.6

Simplifica.

$g (x) = - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x}) - - e^{x} + C$

Paso 15.1.2

Multiplica $- - e^{x}$ .

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Paso 15.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + 1 e^{x} + C$

Paso 15.1.2.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} + e^{x} + C$