Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 - \tan (x)$ . Entonces $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 - \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.3.2.1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Paso 2.3.2.1.4

Resta $\sec^{2} (x)$ de $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Reescribe $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ como $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$