Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6.1.1.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6.1.1.2

Simplifica $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Paso 6.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Paso 6.1.1.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Paso 6.1.1.2.3

Combina $x$ y $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Paso 6.1.1.3

Resta $\frac{x}{v}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Paso 6.1.1.4

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.4.1

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.2.2

Divide $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ como $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Paso 6.1.1.4.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Paso 6.1.1.4.3.1.4

Divide $\frac{x}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Paso 6.1.1.5

Multiplica ambos lados por $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Paso 6.1.1.6

Simplifica.

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Paso 6.1.1.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.6.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.6.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Paso 6.1.1.6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.6.2.1

Simplifica $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.2

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 6.1.1.6.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Paso 6.1.1.6.2.1.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.1.1.6.2.1.3.1

Factoriza $v$ de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Paso 6.1.1.6.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Paso 6.1.1.6.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Paso 6.1.1.6.2.1.4

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 6.1.1.6.2.1.4.1

Reordena $x$ y $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Paso 6.1.1.6.2.1.4.2

Reordena $- x$ y $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $v x - x$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $x$ de $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $v - 1$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $v - 1$ de $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Paso 6.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u = v - 1$ . Entonces $d u = d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u = v - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Paso 6.2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.2.1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 6.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 6.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3

Resuelve $v$

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Paso 6.3.1

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 6.3.2

Reescribe $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Paso 6.3.3

Resuelve $v$

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Paso 6.3.3.1

Reescribe la ecuación como $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 6.3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Paso 6.3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Paso 6.3.3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Paso 6.4.2

Reordena $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Paso 6.4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Paso 7

Sustituye $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$