Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} + x y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Paso 1.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y - x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

Paso 1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y - 1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{y^{2}}{y - 1}$ por $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y - 1$ de $(y - 1) x^{2}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $(y - 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $y$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y^{- 2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $- 1 y^{- 2}$ como $- y^{- 2}$ .

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $y^{- 1}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.8

Simplifica.

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Paso 2.2.8.1

Simplifica.

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.8.2

Simplifica.

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Paso 2.2.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Paso 2.3.3.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

Paso 2.3.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$