Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Paso 1

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Paso 2

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 3

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 4

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Paso 5

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 5.1

Separa las variables.

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Paso 5.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 5.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Paso 5.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V + e^{V} - V$ .

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Paso 5.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Paso 5.1.1.1.2.2

Suma $0$ y $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Paso 5.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Paso 5.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $e^{V}$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Paso 5.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 5.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Integra ambos lados.

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Paso 5.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{V}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{V})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 V$ como $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.1.2.2

Multiplica $e^{- V}$ por $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.2

Sea $u = - V$ . Entonces $d u = - d V$ , de modo que $- d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Deja $u = - V$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Diferencia $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Paso 5.2.2.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $- V$ con respecto a $V$ es $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Paso 5.2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.5

Simplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 5.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Paso 5.3

Resuelve $V$

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.2.2

Divide $e^{- V}$ por $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Paso 5.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Paso 5.3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Paso 5.3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.1

Expande $\ln (e^{- V})$ ; para ello, mueve $- V$ fuera del logaritmo.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Paso 5.3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ por $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Paso 5.3.4.2.2

Divide $V$ por $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Paso 5.3.4.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ como $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Paso 5.4

Simplifica la constante de integración.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Paso 7

Resuelve $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Reordena los factores en $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$