Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.2.2

Combina $6$ y $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ de $x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = 6 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y - 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $u^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $u$ es $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ por $3$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.1.2.2

Divide ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Cancela el factor común.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = x^{2} + \frac{K}{3}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 1)}^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y - 1 = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y - 1 = {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 {(x^{2})}^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 ({(x^{2})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y - 1 = x^{6} + {(x^{2})}^{2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{2 \cdot 2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{K}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.2.5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.5.2

Factoriza $3$ de $3^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.5.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + x^{2} \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.7

Aplica la regla del producto a $\frac{K}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Paso 3.3.2.1.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27} + 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K}{3} + K$