Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x y}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{5 x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{1}{5 x y}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{5 x y}$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $y$ de $5 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Paso 1.3.3.3

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Paso 1.3.3.4

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = - \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{5 x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Combina $\ln (| x |)$ y $\frac{1}{5}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5}) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $2 (- \frac{\ln (| x |)}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{\ln (| x |)}{5} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{\ln (| x |)}{5}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Paso 3.3

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = - \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe $\frac{\ln ({| x |}^{2})}{5}$ como $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})) + 2 C}$

Paso 3.5.2

Simplifica $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ al mover $\frac{1}{5}$ dentro del algoritmo.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}) + 2 C}$

Paso 3.5.3

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2 (\frac{1}{5})}) + 2 C}$

Paso 3.5.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$