Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C_{1}}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Paso 3.2

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Reordena $e^{x}$ y $\cos (x)$ .

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Paso 7.4.2

Multiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Paso 7.4.3

Reordena $e^{x}$ y $\sin (x)$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Paso 7.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Paso 7.6

Al resolver $\int e^{x} \cos (x) d x$ , obtenemos que $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Paso 7.7

Reescribe $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ como $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Paso 8

Divide cada término en $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $\cos (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $\sin (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.2

Factoriza $\frac{e^{x}}{2}$ de $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ .

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 8.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Paso 10

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Paso 11

Integra ambos lados.

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Paso 11.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.3

Integra el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.3.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.3.5

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Paso 11.3.6

Dado que $C_{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 11.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 11.3.7.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 11.3.7.2

Simplifica.

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Paso 11.3.7.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 11.3.7.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 11.3.7.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 11.3.7.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Paso 11.3.7.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Paso 11.3.8

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.3.8.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.3.8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 11.3.8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.3.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 11.3.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 11.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Paso 11.3.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Paso 11.3.10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Paso 11.3.11

Simplifica.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Paso 11.3.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Paso 11.3.13

Reordena los términos.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Paso 11.3.14

Reordena los términos.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Paso 11.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$