Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Para escribir $- \frac{2 x}{5 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $10 y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.2.1

Multiplica $\frac{2 x}{5 y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{5 y \cdot 2}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{10 y}$

Paso 1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 2 x \cdot 2}{10 y}$

Paso 1.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 x \cdot 2$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - 2 x \cdot 2}{10 y}$

Paso 1.1.4.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)}{10 y}$

Paso 1.1.4.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 2 \cdot 2)}{10 y}$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10 y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{10 y}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $10 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x (x - 4) d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $x (x - 4)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x \cdot x + x \cdot - 4 d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x + x \cdot - 4 d x$

Paso 2.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x^{1} + x \cdot - 4 d x$

Paso 2.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1 + 1} + x \cdot - 4 d x$

Paso 2.3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} + x \cdot - 4 d x$

Paso 2.3.3.5

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} - 4 x d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\int x^{2} d x + \int - 4 x d x)$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 4 x d x)$

Paso 2.3.6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 \int x d x)$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.8.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (- 2 x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (2 (- x^{2})) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 (- x^{2})) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.6.1

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.6.2

Multiplica $10$ por $3$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{30} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{30} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (15)} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Multiplica $2 (- \frac{x^{2}}{5})$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - 2 \frac{x^{2}}{5} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{5}$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + \frac{- 2 x^{2}}{5} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $- \frac{2 x^{2}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{2 x^{2}}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + 2 K}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Paso 3.4.4.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

Paso 3.4.4.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K}$

Paso 3.4.5

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K \cdot \frac{15}{15}}$

Paso 3.4.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.6.1

Combina $2 K$ y $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + \frac{2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6) + 2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.7.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.4.7.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.7.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.7.3

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 15}{15}}$

Paso 3.4.7.4

Multiplica $15$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$

Paso 3.4.8

Reescribe $\sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$ como $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$

Paso 3.4.9

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Paso 3.4.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 3.4.10.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Paso 3.4.10.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Paso 3.4.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 3.4.10.6

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 3.4.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Paso 3.4.10.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15}$

Paso 3.4.11

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$

Paso 3.4.12

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$