Cálculo Ejemplos

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Reordena los factores en $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Paso 1.1.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ por $\cos (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.1.6

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Paso 1.1.3.3.1.7

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Paso 1.2

Factoriza $\sec (x)$ de $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $\sec (x)$ de $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Paso 1.2.2

Factoriza $\sec (x)$ de $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Paso 1.2.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $- y - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Factoriza $- y - 3$ de $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u = - y - 3$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u = - y - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Paso 3.2

Suma $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Paso 3.3

Divide cada término en $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Divide $\ln (| - y - 3 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Paso 3.3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ como $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Paso 3.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Paso 3.6

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Paso 3.7

Expande $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Paso 3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Paso 3.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Paso 3.9

Reescribe $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Paso 3.10

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Reescribe la ecuación como $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Paso 3.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Paso 3.10.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.1

Suma $3 \sec (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Paso 3.10.3.2

Suma $3 \tan (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Paso 3.10.4

Factoriza $y$ de $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.4.1

Factoriza $y$ de $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Paso 3.10.4.2

Factoriza $y$ de $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Paso 3.10.4.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Paso 3.10.5

Reescribe $- 1 \sec (x)$ como $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Paso 3.10.6

Reescribe $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Paso 3.10.7

Divide cada término en $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ por $- \sec (x) - \tan (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.1

Divide cada término en $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ por $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.2.1

Cancela el factor común de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.3.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.2

Simplifica $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.3.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.3.1.5.1

Factoriza $- 1$ de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.1.5.2

Factoriza $- 1$ de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Paso 3.10.7.3.1.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Paso 3.10.7.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.2

Combina en una fracción.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.7.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 3.10.7.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$