Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Paso 4.5

Simplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.2.1

Multiplica $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.14

Mueve $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.15

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Paso 4.16

Combina $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Paso 4.17

Reescribe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Paso 4.18

Multiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Paso 4.19

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.21

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 4.23

Suma $2$ y $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.1.2

Factoriza $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.5

Multiplica $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.1.5.1

Mueve $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.5.4

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.5.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.6

Simplifica $- 1 \cdot 2 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.3

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Paso 6.1.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.3.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.1.3.3.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.3.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.4

Multiplica $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.3.4.1

Mueve $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Paso 6.1.3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Paso 6.1.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Paso 6.1.3.4.4

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Paso 6.1.3.4.5

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

Paso 6.1.3.5

Simplifica $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

Paso 6.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2$ .

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Paso 6.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 d x}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Paso 6.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 x}$

Paso 6.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 2 x}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Paso 6.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

Paso 6.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

Paso 6.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Paso 6.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Paso 6.7

Integra el lado derecho.

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Paso 6.7.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

Paso 6.7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 6.7.3

Simplifica.

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Paso 6.7.3.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 6.7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 6.7.3.3

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 6.7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 6.7.5

Simplifica.

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Paso 6.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 6.7.5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 6.7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 6.7.7

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.7.7.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.7.7.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.7.7.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.7.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.7.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.7.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Paso 6.7.8

Simplifica.

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Paso 6.7.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Paso 6.7.8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 6.7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Paso 6.7.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Paso 6.7.11

Simplifica.

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Paso 6.7.11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 6.7.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 6.7.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 6.7.13

Simplifica.

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Paso 6.7.13.1

Reescribe $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 6.7.13.2

Simplifica.

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Paso 6.7.13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 6.7.13.2.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 6.7.13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 6.7.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.7.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.15.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ al numerador.

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.2.3

Cancela el factor común.

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.4

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 6.7.15.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.15.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ al numerador.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 6.7.15.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 6.7.15.5.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 6.7.15.5.4

Cancela el factor común.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 6.7.15.5.5

Reescribe la expresión.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.7.15.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.6.2

Multiplica $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

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Paso 6.7.15.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.6.2.2

Multiplica $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.7

Combina $e^{- 2 x} x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 6.7.15.7.1

Reordena $e^{- 2 x}$ y $x$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.7.2

Para escribir $x e^{- 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.7.3

Combina $x e^{- 2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.8

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.15.8.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

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Paso 6.7.15.8.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

Paso 6.7.15.8.1.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

Paso 6.7.15.8.1.3

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Paso 6.7.15.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

Paso 6.8

Divide cada término en $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ por $e^{- 2 x}$ y simplifica.

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Paso 6.8.1

Divide cada término en $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 6.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.3

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.8.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 e^{- 2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- 2 x}$ .

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.7

Combina $e^{- 2 x} x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 6.8.3.2.7.1

Reordena $e^{- 2 x}$ y $x$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.7.2

Para escribir $x e^{- 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.7.3

Combina $x e^{- 2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 6.8.3.2.8.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

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Paso 6.8.3.2.8.1.1

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.8.1.2

Multiplica por $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.8.1.3

Factoriza $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.2.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.3

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.8.3.4.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.8.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.5.3

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.6

Reordena los factores en $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ .

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Paso 6.8.3.8

Multiplica $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ por $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$