Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 1 = 2 x - \frac{1}{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + 1$

Paso 1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 1.1.4

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{1}{2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (2 x + \frac{1}{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{2} d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{2} x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{2} x + K$