Cálculo Ejemplos

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y t + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Como $2 y t$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y t$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Paso 2.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y^{2}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y^{2}$ por $M$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Resta $2 y$ de $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.4

Sustituye $y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $2 y t + 1$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $2 y t + 1$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Paso 11.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Paso 12.3

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 12.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 12.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 12.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Paso 12.5

Expande $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

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Paso 12.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Paso 12.5.2

Multiplica $y^{- 2}$ por $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Paso 12.6

Multiplica $y$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.6.1

Mueve $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Paso 12.6.2

Multiplica $y^{- 2}$ por $y$ .

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Paso 12.6.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Paso 12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Paso 12.6.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Paso 12.7

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Paso 12.8

Dado que $2 t$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 t$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Paso 12.9

La integral de $y^{- 1}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Paso 12.10

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Paso 12.11

Simplifica.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Paso 13

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Paso 14

Simplifica cada término.

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Paso 14.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Paso 14.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$