Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1.1.1

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3.4

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.3.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3.4.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Entonces $d u = 3 y^{2} d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 1 + y$ y $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.2.1.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.2.2.1.3.9

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.2.2.1.3.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.3.12

Multiplica $1 - y + y^{2}$ por $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Combina los términos.

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Paso 2.2.2.1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.9

Suma $- y$ y $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.10

Suma $- 1$ y $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.11

Suma $y + 2 y^{2}$ y $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.12

Resta $y$ de $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.13

Suma $2 y^{2}$ y $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Paso 2.2.2.1.4.4.14

Suma $2 y^{2}$ y $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Paso 2.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Expande $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1.2.1.6.1

Mueve $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.7

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1.2.1.7.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.7.2

Suma $1$ y $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1.1.2.2.1

Combina los términos opuestos en $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1.2.2.1.1

Suma $- y$ y $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.2

Suma $1 + y^{2}$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.3

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.1.4

Suma $1$ y $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Paso 3.5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Paso 3.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{3 x + C}$ como $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Paso 4.3

Reordena $e^{3 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$