Cálculo Ejemplos

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Paso 1

Sea $v = y^{3}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $y^{3}$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $y^{3}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $3 y^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Paso 4

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $v$ de $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Paso 4.2

Reordena $v$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Paso 5

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 5.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 5.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 5.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 6

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 6.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Paso 6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Paso 6.3

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 6.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Paso 6.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Paso 6.3.2

Suma $1$ y $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Paso 7

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Paso 8

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Paso 9

Integra el lado izquierdo.

$x v = \int x^{5} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Paso 11

Divide cada término en $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 11.1

Divide cada término en $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 11.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 11.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3.1.1.2.5

Divide $\frac{1}{6} x^{5}$ por $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Paso 11.3.1.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $v$ con $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Paso 13

Resuelve $y$

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Paso 13.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Paso 13.2

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

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Paso 13.2.1

Para escribir $\frac{x^{5}}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Paso 13.2.2

Para escribir $\frac{C}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Paso 13.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.2.3.1

Multiplica $\frac{x^{5}}{6}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Paso 13.2.3.2

Multiplica $\frac{C}{x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Paso 13.2.3.3

Reordena los factores de $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Paso 13.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Paso 13.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.5.1

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.5.1.1

Multiplica $x^{5}$ por $x$ .

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Paso 13.2.5.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Paso 13.2.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Paso 13.2.5.1.2

Suma $5$ y $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Paso 13.2.5.2

Mueve $6$ a la izquierda de $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Paso 13.2.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Paso 13.2.7

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Paso 13.2.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 13.2.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Paso 13.2.8.2

Eleva $\sqrt[3]{6 x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Paso 13.2.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Paso 13.2.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Paso 13.2.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ como $6 x$ .

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Paso 13.2.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6 x}$ como ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 13.2.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 13.2.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 13.2.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 13.2.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Paso 13.2.8.5.5

Simplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Paso 13.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Paso 13.2.9.2

Aplica la regla del producto a $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Paso 13.2.9.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Paso 13.2.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Paso 13.2.11

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Paso 14

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$