Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} \cos (4 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x^{1}}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} \cos (4 x)}{1}$

Paso 1.3.2.5

Divide $x^{2} \cos (4 x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} \cos (4 x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (4 x)))$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (4 x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (4 x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (4 x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (4 x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 7.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 7.1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Paso 7.2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Paso 7.4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Paso 7.5

Simplifica.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 7.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (4 x)$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{\sin (4 x)}{4} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\sin (4 x)}{4} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Combina $\frac{\sin (4 x)}{4}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.2.1.3.1

Reordena los factores en $\frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.2

Reordena $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$ y $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$