Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x e^{x - y}$

Paso 1

Sea $v = e^{x - y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{x - y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 1 + 6 x v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 5.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d v}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + 6 x v - 1$

Paso 5.1.1.2

Combina los términos opuestos en $1 + 6 x v - 1$ .

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Paso 5.1.1.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v + 0$

Paso 5.1.1.2.2

Suma $6 x v$ y $0$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$

Paso 5.1.2

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{- 1}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{6 x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (6 x v)$

Paso 5.1.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (6 x v)$ como $- (6 x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (6 x v)$

Paso 5.1.2.3.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 6 x v$

Paso 5.1.3

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.4.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Paso 5.1.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v \cdot v$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.4.2.1

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.2.1.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x (v \cdot v)$

Paso 5.1.4.2.1.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v^{2}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (- 6 x v^{2})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Paso 5.3.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (x v^{2})$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $v^{2}$ de $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Paso 5.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 x$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v^{2}} d v = - 6 x d x$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int - 6 x d x$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1.1

Mueve $v^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int - 6 x d x$

Paso 6.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int - 6 x d x$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int - 6 x d x$

Paso 6.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $v^{- 2}$ con respecto a $v$ es $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Paso 6.2.3

Reescribe $- v^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Paso 6.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 \int x d x$

Paso 6.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 6.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.3.1

Reescribe $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 6.3.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 3 x^{2} + C_{2}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 7.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$v, 1, 1$

Paso 7.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$v$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ por $v$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ por $v$ .

$- \frac{1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{v}$ al numerador.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Paso 7.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 3 x^{2} v + K v$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 7.3.1

Reescribe la ecuación como $- 3 x^{2} v + K v = - 1$ .

$- 3 x^{2} v + K v = - 1$

Paso 7.3.2

Factoriza $v$ de $- 3 x^{2} v + K v$ .

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $v$ de $- 3 x^{2} v$ .

$v (- 3 x^{2}) + K (v) = - 1$

Paso 7.3.2.2

Factoriza $v$ de $K v$ .

$v (- 3 x^{2}) + v (K) = - 1$

Paso 7.3.2.3

Factoriza $v$ de $v (- 3 x^{2}) + v (K)$ .

$v (- 3 x^{2} + K) = - 1$

Paso 7.3.3

Divide cada término en $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ por $- 3 x^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 7.3.3.1

Divide cada término en $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ por $- 3 x^{2} + K$ .

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Paso 7.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3 x^{2} + K$ .

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Paso 7.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Paso 7.3.3.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Paso 7.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v = - \frac{1}{- 3 x^{2} + K}$

Paso 7.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) + K}$

Paso 7.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) - 1 (- K)}$

Paso 7.3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2} - K)}$

Paso 7.3.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.3.3.5.1

Reescribe $- (3 x^{2} - K)$ como $- 1 (3 x^{2} - K)$ .

$v = - \frac{1}{- 1 (3 x^{2} - K)}$

Paso 7.3.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v = - - \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Paso 7.3.3.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$v = 1 \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Paso 7.3.3.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{3 x^{2} - K}$ por $1$ .

$v = \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Paso 8

Simplifica la constante de integración.

$v = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{x - y})$ ; para ello, mueve $x - y$ fuera del logaritmo.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Paso 10.2.3

Multiplica $x - y$ por $1$ .

$x - y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Paso 10.3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$

Paso 10.4

Divide cada término en $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.4.1

Divide cada término en $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Paso 10.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Paso 10.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Paso 10.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Paso 10.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ como $- \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Paso 10.4.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{x}{1}$

Paso 10.4.3.1.4

Divide $x$ por $1$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + x$