Cálculo Ejemplos

$(4 x^{3} y^{3} - 2 x y) d x + (3 x^{4} y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3} - 2 x y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x^{3} y^{3}$ con respecto a $y$ es $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2} - x^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4} y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - (2 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - 2 x$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} - 2 x y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Paso 5.2

Dado que $4 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4 y^{3}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} \int x^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x y d x$

Paso 5.4

Dado que $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y \int x d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 4 \cdot \frac{1}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 5.7.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.5

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Paso 5.7.6

Combina $y$ y $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- 2 x^{2})}{2} + C$

Paso 5.7.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.7.7.1

Factoriza $2$ de $y (- 2 x^{2})$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2} + C$

Paso 5.7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Paso 5.7.7.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Paso 5.7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- x^{2})}{1} + C$

Paso 5.7.7.2.4

Divide $y (- x^{2})$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x^{4}$ con respecto a $y$ es $x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$3 x^{4} y^{2} + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y (- x^{2})]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y (- x^{2})$ con respecto a $y$ es $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2}$

Paso 9.1.2

Resta $3 x^{4} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} + 0 - 3 x^{4} y^{2}$

Paso 9.1.3.2

Suma $3 x^{4} y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Paso 9.1.3.3

Resta $3 x^{4} y^{2}$ de $3 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 10.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 10.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Paso 12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - y x^{2} + C$