Cálculo Ejemplos

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = - 3 y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(1 + x) \frac{d y}{d x} = - 3 y$ por $1 + x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(1 + x) \frac{d y}{d x} = - 3 y$ por $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{- 3 y}{1 + x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{- 3 y}{1 + x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 y}{1 + x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 y}{1 + x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{3 y}{1 + x})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{1 + x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{3 y}{1 + x}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{1 + x}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{1 + x}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{1 + x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{3}{1 + x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{1 + x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{1 + x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{1 + x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 3 \ln (| 1 + x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + 3 \ln (| 1 + x |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) + 3 \ln (| 1 + x |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 \ln (| 1 + x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| 1 + x |}^{3}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| 1 + x |}^{3}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y | {| 1 + x |}^{3})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| y | {| 1 + x |}^{3}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {| 1 + x |}^{3}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$ por ${| 1 + x |}^{3}$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$ por ${| 1 + x |}^{3}$ .

$\frac{| y | {| 1 + x |}^{3}}{{| 1 + x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de ${| 1 + x |}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y | {| 1 + x |}^{3}}{{| 1 + x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Paso 3.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{{| 1 + x |}^{3}}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{{| 1 + x |}^{3}}$