Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = 16 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = 16 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $16 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Paso 2.3.5.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.5.1.2.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.3.5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.3.5.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.3.6.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.10.1

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.3.10.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.10.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.1.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.10.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.10.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.10.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.10.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.10.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.10.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Paso 2.3.12

Simplifica.

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Paso 2.3.12.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$