Cálculo Ejemplos

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $3 y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $2 x + 1$ de $(2 x + 1) y$ .

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

Paso 3.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y$ de $(2 x + 1) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 4.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.3.4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.3.4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Combina $\ln (| 2 x + 1 |)$ y $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Paso 5.1.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.3

Para escribir $- \ln (| y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.4

Combina $- \ln (| y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 \ln (| y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Paso 5.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Paso 5.10

Simplifica la expresión.

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Paso 5.10.1

Reescribe $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ como $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Paso 5.10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.11

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.11.1

Simplifica $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

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Paso 5.11.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.11.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.11.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Paso 5.11.1.1.3

Simplifica $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

Paso 5.11.1.1.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

Paso 5.11.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

Paso 5.11.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 5.11.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ .

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.11.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.11.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.11.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.11.1.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.11.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.11.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.11.1.5.2

Simplifica.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.11.1.6

Multiplica los exponentes en ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.11.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

Paso 5.11.1.6.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

Paso 5.12

Divide cada término en $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.12.1

Divide cada término en $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Paso 5.12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.12.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Paso 5.12.2.2

Divide $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ por $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Paso 5.12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.12.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Paso 5.12.3.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

Paso 5.13

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

Paso 5.14

Reescribe $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.15

Resuelve $y$

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Paso 5.15.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

Paso 5.15.2

Multiplica ambos lados por ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.15.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.15.3.1

Cancela el factor común de ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.15.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.15.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$