Cálculo Ejemplos

$(\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}) d x + (\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = 2 y$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \cdot 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 x^{2} y^{2}$ con respecto a $y$ es $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} (2 y)$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 6 x^{2} y$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Paso 2.2.2

Como $\cos (2 y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\cos (2 y)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2 \sin (2 y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x \sin (2 y)$ con respecto a $x$ es $- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y (3 x^{2})$

Paso 2.4.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Resta $2 \sin (2 y)$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \cos (2 y) d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Paso 5.3

Dado que $- 3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - 3 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 3}{3} y^{2} x^{3} + C$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Paso 5.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{2} x^{3} + C$

Paso 5.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} + C$

Paso 5.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 1}{1} y^{2} x^{3} + C$

Paso 5.6.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\cos (2 y) x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = 2 y$ .

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Paso 8.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$x (- \sin (2 y) \cdot 2) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2} x^{3}$ con respecto a $y$ es $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $2 x \sin (2 y)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y)$

Paso 9.1.2

Suma $2 x^{3} y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$ .

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Paso 9.1.3.1

Suma $- 2 x \sin (2 y)$ y $2 x \sin (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Paso 9.1.3.2

Suma $\cos (2 y) - 2 x^{3} y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Paso 9.1.3.3

Suma $- 2 x^{3} y$ y $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $\cos (2 y)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $\cos (2 y)$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (2 y) d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \cos (2 y) d y$

Paso 10.3

Sea $u = 2 y$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.3.1

Deja $u = 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 10.3.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 10.3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 10.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 10.4

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 10.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Paso 10.6

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Paso 10.7

Simplifica.

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Paso 10.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$ .

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \cos (2 y) - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$