Cálculo Ejemplos

$(1 + x) d y - y d x = 0$

Paso 1

Suma $y d x$ a ambos lados de la ecuación.

$(1 + x) d y = y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 + x$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x)} y d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x)} y d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.1.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.3.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x |) = C$

Paso 5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x |}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| 1 + x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x |} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Multiplica ambos lados por $| 1 + x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de $| 1 + x |$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} | 1 + x |$

Paso 5.5.4

Resuelve $y$

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Paso 5.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | 1 + x |$ .

$| y | = | 1 + x | e^{C}$

Paso 5.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x | e^{C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm | 1 + x | C$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | 1 + x |$