Cálculo Ejemplos

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ por $x y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ por $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

Paso 1.1.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(V^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

Paso 6.1.1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $- \frac{1}{V^{2}}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Paso 6.1.4.2

Combinar.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Factoriza $V^{2}$ de $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Paso 6.1.4.3.2

Factoriza $V^{2}$ de $x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Paso 6.1.4.3.3

Cancela el factor común.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Paso 6.1.4.3.4

Reescribe la expresión.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.1.4.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{2}$ con respecto a $V$ es $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Paso 6.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Paso 6.3.3

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Paso 6.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$