Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x + 4 y - 2$

Paso 1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = x - 2$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 4$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 4 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 4 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 4 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 4 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 2$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 2$

Paso 3.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x - 2 e^{- 4 x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x - 2 e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.4

Dado que $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.6

Sea $u_{1} = - 4 x$ . Entonces $d u_{1} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.6.1

Deja $u_{1} = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.6.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 7.6.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 7.6.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 7.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.7

Simplifica.

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Paso 7.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.7.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.10

Simplifica.

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Paso 7.10.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.10.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.11

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

Paso 7.12

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int e^{- 4 x} d x$

Paso 7.13

Sea $u_{2} = - 4 x$ . Entonces $d u_{2} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.13.1

Deja $u_{2} = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.13.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 7.13.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 7.13.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 7.13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Paso 7.14

Simplifica.

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Paso 7.14.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Paso 7.14.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 7.15

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

Paso 7.16

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 7.17

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + 2 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7.18

Simplifica.

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Paso 7.18.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.18.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (1)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.18.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.18.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.18.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.18.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.19

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.20

Simplifica.

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Paso 7.20.1

Simplifica.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.20.2

Simplifica.

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Paso 7.20.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.20.2.2

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.21

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.21.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.21.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

Paso 7.22

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

Paso 7.23

Reordena los términos.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x}}{4} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

Paso 8.1.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

Paso 8.1.3

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x} + C$ por $e^{- 4 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x} + C$ por $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 4 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x}}{2} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.3

Para escribir $\frac{e^{- 4 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x}}{2} \cdot \frac{8}{8} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.4.1

Multiplica $\frac{e^{- 4 x}}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 8}{2 \cdot 8} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 8}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- e^{- 4 x} + e^{- 4 x} \cdot 8}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.6

Suma $- e^{- 4 x}$ y $e^{- 4 x} \cdot 8$ .

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Paso 8.2.3.6.1

Reordena $e^{- 4 x}$ y $8$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- e^{- 4 x} + 8 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.6.2

Suma $- e^{- 4 x}$ y $8 \cdot e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.7.1

Para escribir $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.7.2.1

Multiplica $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{- x e^{- 4 x} \cdot 4 + 7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.7.4.1

Factoriza $e^{- 4 x}$ de $- x e^{- 4 x} \cdot 4 + 7 e^{- 4 x}$ .

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Paso 8.2.3.7.4.1.1

Factoriza $e^{- 4 x}$ de $- x e^{- 4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + 7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.4.1.2

Factoriza $e^{- 4 x}$ de $7 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + e^{- 4 x} \cdot 7}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.4.1.3

Factoriza $e^{- 4 x}$ de $e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + e^{- 4 x} \cdot 7$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- x \cdot 4 + 7)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.4.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.5

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.6

Combina $C$ y $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.7.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x) + e^{- 4 x} \cdot 7 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{- 4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 7 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.8.3

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.7.8.4

Mueve $16$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.9

Multiplica $\frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ por $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.10

Factoriza $- 1$ de $- 4 e^{- 4 x} x$ .

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x) + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.11

Factoriza $- 1$ de $7 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x) - (- 7 e^{- 4 x}) + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.12

Factoriza $- 1$ de $- (4 e^{- 4 x} x) - (- 7 e^{- 4 x})$ .

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x}) + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.13

Factoriza $- 1$ de $16 C$ .

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x}) - (- 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.14

Factoriza $- 1$ de $- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x}) - (- 16 C)$ .

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.15

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.15.1

Reescribe $- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)$ como $- 1 (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)$ .

$y = \frac{- 1 (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.15.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Paso 8.2.3.15.3

Reordena los factores en $- \frac{4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ .

$y = - \frac{4 x e^{- 4 x} - 7 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$