Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Expande $(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ .

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Paso 2.3.3.1