Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt{t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = k \sqrt{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int k \sqrt{t} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int k \sqrt{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $k$ es constante con respecto a $t$ , mueve $k$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = k \int \sqrt{t} d t$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Combina $k$ y $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $k$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot k}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Combina $\frac{2 k}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 k t^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{2}{3} k t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + K$