Cálculo Ejemplos

$(1 + y^{2} + x y^{2}) d x + (x^{2} y + y + 2 x y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y^{2} + x y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2} + x y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x (2 y)$

Paso 1.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 2 x y$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x y$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} y + y + 2 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + y + 2 x y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + y + 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 2.5.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $2 y x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x y + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x y + 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y^{2} + x y^{2} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int d x + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x + C + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + \int x y^{2} d x$

Paso 5.4

Dado que $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} \int x d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 8.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.5

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.6

Combina $\frac{2 x^{2}}{2}$ y $y$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.7.1

Cancela el factor común.

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.4.7.2

Divide $x^{2} y$ por $1$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $0$ y $2 x y$ .

$2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y$

Paso 9.1.2

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 0 - x^{2} y$

Paso 9.1.3.2

Suma $x^{2} y + y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y - x^{2} y$

Paso 9.1.3.3

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2

Suma $y^{2} x$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

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Paso 12.2.1

Reordena $y^{2}$ y $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.2

Para escribir $x y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.3

Combina $x y^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 + y^{2}}{2} + C$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2 + y^{2}$ .

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Paso 12.3.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2}}{2} + C$

Paso 12.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Paso 12.3.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Paso 12.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Paso 12.4

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Paso 12.5

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Paso 12.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2 + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Paso 12.7

Simplifica el numerador.

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Paso 12.7.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot x + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Paso 12.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Paso 12.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Paso 12.7.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$

Paso 12.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} + 2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$