Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 9) d y - x y d x = 0$

Paso 1

Suma $x y d x$ a ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} - 9) d y = x y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} - 9) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} - 9$ de $(x^{2} - 9) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 9) (y)} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $(x^{2} - 9) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} - 9)} (x y) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} - 9)} (y x) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (x^{2} - 9)} (y x) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} - 9} x d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{x^{2} - 9}$ y $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} - 9} d x$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} - 3^{2}} d x$

Paso 3.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Sea $u = (x + 3) (x - 3)$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.1.1

Deja $u = (x + 3) (x - 3)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Diferencia $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Paso 4.3.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.3.1.1.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.3.1.1.3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.3.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.3.1.1.3.4.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.3.1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 4.3.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 4.3.1.1.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Paso 4.3.1.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.3.8.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Paso 4.3.1.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Paso 4.3.1.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.3.1.1.3.8.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.1.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Paso 5.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Paso 5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 5.3.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 5.3.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 5.3.2.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 5.3.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.4

Para escribir $\ln (| y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.5.1

Combina $\ln (| y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.7

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

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Paso 5.7.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 9 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.7.1.1.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 3^{2} |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.3

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.7.1.1.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x (x - 3) + 3 (x - 3) |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.4

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 5.7.1.1.4.4.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.4.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.4.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.1.4.5.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 3 \cdot - 3 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.5.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 9 |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 3^{2} |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.1.4.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}{2} = C$

Paso 5.7.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |}) = C$

Paso 5.7.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 5.7.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{y^{2}}{| (x + 3) (x - 3) |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.7.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.5.2

Simplifica.

$\ln (\frac{y}{{| (x + 3) (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.7.1.6.1

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.7.1.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{y}{{| x (x - 3) + 3 (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 5.7.1.6.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.2.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 3 \cdot - 3 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7.1.6.3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Paso 5.9

Reescribe $\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.10

Resuelve $y$

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Paso 5.10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Paso 5.10.2

Multiplica ambos lados por ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.10.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.3.1

Cancela el factor común de ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.10.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.10.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = e^{C} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = C {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$