Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

Paso 1.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Paso 1.3

Resta $8 y$ de $9 y$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Paso 2

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 2.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 2.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 2.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Paso 6.2

Aplica la regla de la constante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Paso 6.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

Paso 6.5

Aplica la regla de la constante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

Paso 6.6.2

Simplifica.

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

Paso 7

Divide cada término en $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.5

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3.2

Divide $- 6$ por $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$