Cálculo Ejemplos

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

Paso 1

Resta $x y^{3} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $(y + 1) e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y^{3}}$ por $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ al numerador.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{3}$ de $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y^{3}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Paso 3.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 1}{e^{- x}}$ y $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $(y + 1) y^{- 3}$ .

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $y$ por $y^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y^{- 3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.3.1.2

Resta $3$ de $1$ .

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $y^{- 3}$ por $1$ .

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.7

Simplifica.

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.2.8

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Niega el exponente de $e^{- x}$ y quítalo del denominador.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 4.3.2.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

Paso 4.3.2.2.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

Paso 4.3.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 4.3.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$