Cálculo Ejemplos

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $(1 - \ln (x)) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 2.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 2.2.3

Como $\ln (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\ln (x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Paso 2.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Paso 2.4.2

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (1 - \ln (x))$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Paso 3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6

Multiplica.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Paso 6.2

Reescribe $- (1 - \ln (x)) y + C$ como $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

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Paso 9.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(- 1 + \ln (x)) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.3.5

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.3.6

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 10.1.1.1

Resta $\ln (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Paso 10.1.1.2

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Paso 10.1.1.3

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

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Paso 10.1.1.3.1

Resta $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Paso 10.1.1.3.2

Suma $\frac{d g}{d x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Paso 10.1.2

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $1 + \ln (x)$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Paso 11.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Paso 11.4

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Paso 11.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 11.6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 11.6.2.1

Cancela el factor común.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 11.6.2.2

Reescribe la expresión.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Paso 11.7

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Paso 11.8

Simplifica.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Paso 11.9

Simplifica.

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Paso 11.9.1

Resta $x$ de $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Paso 11.9.2

Suma $\ln (x) x$ y $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Paso 13

Simplifica $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Paso 13.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Paso 13.2

Reordena los factores en $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$