Cálculo Ejemplos

$y d x = 2 (x + y) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $2 (x + y) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$y d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Paso 3.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 (x + y)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Paso 3.6.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - 2$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - 1}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{- 2 - 1}{y}$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{y}$

Paso 5.3.3

Sustituye $y$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $y d x - 2 (x + y) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y \frac{1}{y^{3}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- 2 (x + y)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} d x + (- 2 x - 2 y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $- 2 x - 2 y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{- 2 x - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $- 2 x - 2 y$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.6.2

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) + 2 (- y)}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x - y)}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - y)}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.8

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - (y))}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.10

Reescribe $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- 1 (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{2}} d x - \frac{2 (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{2}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = \frac{1}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} x + C$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{y^{2}}$ y $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}} + g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{y^{2}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.5.2

Combina los términos.

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Paso 12.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.5.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{y^{3}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.5.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 12.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Suma $\frac{2 (x + y)}{y^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 x + 2 y}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.6

Cancela el factor común de $y$ y $y^{3}$ .

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Paso 13.1.1.6.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y^{3}} = 0$

Paso 13.1.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.6.2.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Paso 13.1.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $\frac{2}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- \frac{2}{y^{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Paso 14.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Paso 14.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 14.6

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 14.7

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 14.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 14.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Paso 14.8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Paso 14.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.9.1

Reescribe $- 2 (- y^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Paso 14.9.2

Simplifica.

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Paso 14.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Paso 14.9.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + \frac{2}{y} + C$