Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = x^{3}$ if $y (1) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = x^{3}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = x^{3}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{3}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 3}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{3 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = 1$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = 1$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{x^{3}} y = x + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} = x + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (x + C) x^{3}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (x + C) x^{3}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (x + C) x^{3}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(x + C) x^{3}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x^{3} + C x^{3}$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 8.3.2.1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{1} x^{3} + C x^{3}$

Paso 8.3.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{1 + 3} + C x^{3}$

Paso 8.3.2.1.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$y = x^{4} + C x^{3}$

Paso 8.3.2.1.3

Reordena $x^{4}$ y $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + x^{4}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $4$ por $y$ en $y = C x^{3} + x^{4}$ .

$4 = C \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $C \cdot 1^{3} + 1^{4} = 4$ .

$C \cdot 1^{3} + 1^{4} = 4$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C \cdot 1 + 1^{4} = 4$

Paso 10.2.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$C + 1^{4} = 4$

Paso 10.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C + 1 = 4$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 4 - 1$

Paso 10.3.2

Resta $1$ de $4$ .

$C = 3$

Paso 11

Sustituye $3$ por $C$ en $y = C x^{3} + x^{4}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $3$ por $C$ .

$y = 3 x^{3} + x^{4}$