Cálculo Ejemplos

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x^{3} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2})$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + y (3 x^{2})$

Paso 1.5

Elimina los paréntesis.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + y \cdot 3 x^{2}$

Paso 1.6

Mueve $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x^{3} y = \int x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2}}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2}}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{C}{x^{3}}$