Cálculo Ejemplos

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.2.2

Como $2 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.5

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

Paso 1.6

Combina los términos.

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Paso 1.6.1

Resta $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

Paso 1.6.2

Suma $- 2 x y - 2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} y + 2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

Paso 2.10.2

Combina los términos.

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Paso 2.10.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

Paso 2.10.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x y - 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

Paso 5.3

Dado que $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.2.1.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.5

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.7

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.8

Combina $\frac{2 y^{2}}{2}$ y $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.9.1

Cancela el factor común.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.9.2

Divide $y^{2} x$ por $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 8.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $y^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

Paso 9.1.2

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

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Paso 9.1.3.1

Reordena los factores en los términos $- x y^{2}$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Paso 9.1.3.2

Suma $- y^{2} x$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Paso 9.1.3.3

Suma $2 x^{3} - 2 y + 3$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

Paso 9.1.3.4

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Paso 9.1.3.5

Suma $2 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 x^{3} + 3$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Paso 10.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Paso 10.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Paso 10.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Paso 10.9

Reordena los términos.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$