Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ es una integral especial. La integral es la función error.

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{e r f (x) + C}$ .

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

Paso 3.3.2

Multiplica $e r f$ por $x$ .

$| y | = e^{e r f x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e r f x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{e r f x + C}$ como $e^{e r f x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{e r f x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{e r f x}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $4$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = C e^{e r f x}$ .

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ .

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ por $e^{e r f \cdot 4}$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ por $e^{e r f \cdot 4}$ .

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{e r f \cdot 4}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $e r f$ .

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

Paso 7

Sustituye $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ por $C$ en $y = C e^{e r f x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ y $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $e^{e r f x}$ y $e^{4 e r f}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $e^{4 e r f}$ de $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

Paso 7.3.2.4

Divide $e^{e r f x - 4 e r f}$ por $1$ .

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$