Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 3 y$

Paso 1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Paso 7.5

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Paso 7.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 7.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 7.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 7.10

Reescribe $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 7.12

Simplifica.

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Paso 7.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.12.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 7.12.1.2

Combina $\frac{x}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 7.12.1.3

Combina $e^{3 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 7.12.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.12.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 7.12.3.2

Cancela el factor común.

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 7.12.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 7.12.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{3 x}}{9}$ al numerador.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Paso 7.12.4.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Paso 7.12.4.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Paso 7.12.4.4

Cancela el factor común.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Paso 7.12.4.5

Reescribe la expresión.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.5

Combina $2$ y $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

Paso 7.12.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.8

Para escribir $2 x e^{3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.9

Combina $2 x e^{3 x}$ y $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.12.11.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

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Paso 7.12.11.1.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 7.12.11.1.2

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

Paso 7.12.11.1.3

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Paso 7.12.11.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.4

Reescribe $- 1 e^{3 x}$ como $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $3 e^{3 x} x$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.7

Combina $\frac{2}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.8

Combina $2 e^{3 x} x$ y $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ mediante un denominador común.

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Paso 8.3.2.8.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.8.2

Para escribir $2 x e^{3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.8.3

Combina $2 x e^{3 x}$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.2.9.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

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Paso 8.3.2.9.1.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.9.1.2

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.9.1.3

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.2.9.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.3

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.4.1

Combina $C$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.5.5

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.6

Reordena los factores en $\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ .

$y = \frac{\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Paso 8.3.8

Multiplica $\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ por $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3 e^{3 x}}$