Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) y^{5}}{x^{2} (2 y^{3} - y)}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $2 y^{3} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Factoriza $y$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $y$ de $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{5}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Paso 1.3.3

Factoriza $y$ de $2 y^{3} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) - y})$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1})$

Paso 1.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $y^{5}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Factoriza $y$ de $y^{5}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Paso 1.3.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Paso 1.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1})$

Paso 1.3.5

Multiplica $\frac{x - 1}{x^{2}}$ por $\frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2} (2 y^{2} - 1)}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $2 y^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Factoriza $2 y^{2} - 1$ de $x^{2} (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2}}$

Paso 1.3.7

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Factoriza $y^{4}$ de $(x - 1) y^{4}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $y$ de $2 y^{3} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1.1

Factoriza $y$ de $2 y^{3}$ .

$\int \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.1.1.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\int \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.1.1.3

Factoriza $y$ de $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{5}$ .

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1

Mueve $y^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{4 \cdot - 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $(2 y^{2} - 1) y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{2} y^{- 4} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- 4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.1

Mueve $y^{- 4}$ .

$\int 2 (y^{- 4} y^{2}) - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 y^{- 4 + 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.1.3

Suma $- 4$ y $2$ .

$\int 2 y^{- 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $- 1 y^{- 4}$ como $- y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{- 2} - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - \int y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.9.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.9.1.1

Combina $y^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.1.2

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.2

Simplifica.

$2 (- \frac{1}{y}) - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.9.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + 1 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9.3.5

Multiplica $\frac{1}{3 y^{3}}$ por $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Multiplica $(x - 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe $- 1 x^{- 2}$ como $- x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int - x^{- 2} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - (- x^{- 1} + C_{5})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Simplifica.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C_{6}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C_{6}$

Paso 2.3.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C_{6}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$