Cálculo Ejemplos

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $6 x y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3.2

Factoriza $y$ de $4 y + 9 y^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $y$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 4 + y (9 y)$ .

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3.3.2

Divide $4 + 9 y$ por $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

Paso 3.5

Combina $- 6$ y $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la constante.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Paso 4.2.3

Dado que $9$ es constante con respecto a $y$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

Paso 4.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Simplifica.

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Paso 4.2.5.2

Combina $9$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Paso 4.2.6

Reordena los términos.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

Paso 4.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 4.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.3.1

Reescribe $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 4.3.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 4.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 4.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 4.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 4.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 4.3.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Combina $\frac{9}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Paso 5.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

Paso 5.2.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

Paso 5.3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Paso 5.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

Paso 5.3.3

Mueve $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Paso 5.3.4

Reordena $9 y^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = 8$ y $c = 6 x^{2} - 2 K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.4

Multiplica $6$ por $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.6

Factoriza $8$ de $64 - 216 x^{2} + 72 K$ .

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Paso 5.6.1.6.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.6.2

Factoriza $8$ de $- 216 x^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.6.3

Factoriza $8$ de $72 K$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.6.4

Factoriza $8$ de $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.6.5

Factoriza $8$ de $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.7

Reescribe $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ como $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ .

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Paso 5.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.7.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$