Cálculo Ejemplos

$x d x - y^{2} d y = 0$

Paso 1

Resta $x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} d y = - x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - y^{2} d y = \int - x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int y^{2} d y = \int - x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - x d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{3}}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = - 3 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = - 3 (- \frac{x^{2}}{2}) - 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} - 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina $3$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- K)}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $- K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - K \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 3.4.3

Combina $- K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- K \cdot 2}{2})}$

Paso 3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 K}{2}}$

Paso 3.4.6

Combina $3$ y $\frac{x^{2} - 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 K)}{2}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.9.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.9.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.9.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.4.9.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.4.9.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.9.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.9.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.9.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.9.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.9.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.9.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.10.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.4.10.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.11.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.4.11.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} + K)}}{2}$