Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $\csc (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $\csc (y)$ .

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Paso 1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\csc (y)}$ al numerador.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $\csc (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \cos (y) = - t + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \cos (y) = - t + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \cos (y) = - t + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\cos (y) = t - K$

Paso 3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (t - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \arccos (t + K)$