Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\sqrt{1 - y^{2}}$ de $x \sqrt{1 - y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ con respecto a $y$ es $\arcsin (y)$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$