Cálculo Ejemplos

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $2 x y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Paso 1.1.2.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Paso 1.1.3

Factoriza $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ por $2 x (x y + 1)$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ por $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.2.3

Cancela el factor común de $x y + 1$ .

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Paso 1.1.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.4.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Paso 1.1.4.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Paso 1.1.4.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.2

Para escribir $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x y + 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.4.3.3.1

Multiplica $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.3.2

Reordena los factores de $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.5

Factoriza $y$ de $- y^{2} x - y$ .

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Paso 1.1.4.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.5.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.5.3

Factoriza $y$ de $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6

Cancela el factor común de $- y x - 1$ y $x y + 1$ .

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Paso 1.1.4.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6.4

Reescribe $- (y x + 1)$ como $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6.5

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6.6

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Paso 1.1.4.3.6.7

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Paso 1.1.4.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.7.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Paso 1.1.4.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y x |) = C$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (| y x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Paso 3.6.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $y x = \pm e^{C}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $y x = \pm e^{C}$ por $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{x}$