Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

Paso 1.2

Dado que $\frac{21}{10}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{21}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.3

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.3.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.3.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 1.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

Paso 1.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ como $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

Paso 1.5.2

Simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $\frac{21}{10}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $\frac{21}{20}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{21}{20}$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$