Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - 2 x y + 6 x) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6 x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 2 x y + 6 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.4

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $2 y - 2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x y + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.5

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Paso 2.9

Suma $2 x - 2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Paso 2.10.2

Combina los términos.

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Paso 2.10.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x + 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Paso 5.4

Dado que $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2 x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Paso 5.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Paso 5.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Paso 5.8

Simplifica.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.5

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.7

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.3.10

Suma $2 y x - y^{2}$ y $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.5.2

Combina los términos.

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Paso 8.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.5.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 8.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2}$

Paso 9.1.2

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 0 + 2 x y$

Paso 9.1.3.2

Suma $- 2 x y + 6 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 2 x y$

Paso 9.1.3.3

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $6 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $6 x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Paso 10.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 3 x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- (- x y^{2})$ .

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 3 x^{2} + C$

Paso 12.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 3 x^{2} + C$